WWW.EL.Z-PDF.RU
БИБЛИОТЕКА  БЕСПЛАТНЫХ  МАТЕРИАЛОВ - Онлайн документы
 

«ГИМНАЗИЯ №3 ГРАФИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РЕШЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЗАДАЧ Выполнила: ученица 9 «А» класса Сибирякова Полина Научный руководитель: Учитель математики ...»

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ГИМНАЗИЯ №3

ГРАФИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РЕШЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Выполнила: ученица 9 «А» класса

Сибирякова Полина

Научный руководитель:

Учитель математики

Головко Валентина Васильевна

ГОРНО-АЛТАЙСК,2017

Содержание

Введение…………………………………………………………..…..………3

Графическая модель решения алгебраических задач……...………….4

Основная часть……………………………………………………….……… 5

Решение задач на движение………………………………..…….…………6

Решение задач на совместную работу ……………………….…..……….9

Решение задач на проценты и пропорции……………………………...…12

Вывод………………………………………………………………………..…17

Литература..…………..……………………………………………….……18

Приложения..…………..……………………………………………………19

« График – это говорящая линия, которая может о многом рассказать».

М.Б.БалкВведение

Знание особых приёмов и подходов к решению математических задач позволяют не только правильно их решать, но и решать простым и оригинальным способом.

В данной работе я хочу представить графическую модель решения алгебраических задач, которая основана на наглядно-геометрических интерпретациях, связанных формулой расстояния между двумя точками на плоскости, построением графического образа задачи на координатной плоскости Oxy.

Существенными признаками этого метода являются геометрические представления и законы геометрии, в которых отражены свойства геометрических фигур. Графические методы используются при решении задач на движение, на совместную работу, на проценты, на пропорции. Задачи таких видов ежегодно содержатся в заданиях ОГЭ. Таким образом, выбранная тема актуальна и перспективна. Из-за сложности, нестандартности графический метод решения задач в школьном курсе математики не изучается. Тем важнее данное исследование.

Проблема: многие задачи алгебры очень трудно решить аналитическим путём.

Гипотеза: решение задач графическим методом направляется наглядным представлением условий в виде рисунка или чертежа, что помогает глубже понять условие задачи, делает их более наглядным, очевидным, значительно упрощает решение, ведёт к более быстрому получению ответа.

Цель: изучение графического метода решения алгебраических задач.

Объект исследования: математические задачи.

Предмет исследования: графический метод решения задач.

Задачи:

Обозначить ключевые положения теории.

Определить задачи, которые удобнее решать графическим методом.

Рассмотреть задачи различной степени сложности с использованием приёмов графического метода.

Проанализировать задачи на движение, изучаемые в школьном курсе математики.

Разобрать решение некоторых интересных задач с помощью построения графиков.

Получить навыки графической интерпретации.

Подтвердить гипотезу: если знаешь теорию и умеешь делать чертеж для задачи – считай, что задача решена.1.Графическая модель решения текстовых задач.

Очень многие текстовые задачи на составление уравнений (или систем уравнений) можно решать графически. К ним относятся задачи на движение и на совместную работу. Изображая графики, можно находить зависимости между величинами, применяя геометрические знания (признаки подобия и равенства треугольников, свойства средней линии треугольника), а можно решать задачу, составляя числовое выражение, уравнение или систему уравнений.

Рассмотрим геометрический метод с использованием графического.

Основная часть.

Обычно при решении текстовых задач на движение для наглядности пройденное расстояние изображают отрезком, однако это не всегда упрощает решение. Указанный недостаток можно устранить, применяя графическое представление движения, известное нам из курса физики.

Можно отметить, что при решении задач на равномерное движение полезны соотношения:

S1/S2=t1/t2

если скорости равны;

1/2=t2/t1

если равны пройденные расстояния;

S1/S2=1/2

если равны промежутки времени.

Источником составления уравнений в задачах на движение служат следующие соображения:

1) Объекты, начавшие движение навстречу друг другу одновременно, движутся до момента встречи одинаковое время. Время, через которое они встретятся, находят по формуле

t = s/(v1 + v2)     (1)

2) Если одно тело догоняет другое, то время, через которое первый догонит второго, вычисляется по формуле

t = s/(v1 – v2)    (2)

3) Если объекты прошли одинаковое расстояние, то величину этого расстояния удобно принять за общее неизвестное задачи.

4) Для времени новой встречи при движении в противоположных направлениях получим формулу (1), если в одном направлении – то формулу (2).

5) При движении по течению реки скорость объекта равна сумме скоростей в стоячей воде и скорости течения. При движении против течения скорость движения есть разность этих скоростей.

Задачи на движение.

Задача 1. Винни-Пух и Пятачок одновременно отправились в гости друг к другу, но поскольку оба всю дорогу считали галок, то не заметили друг друга при встрече.

После встречи Пятачок подошел к дому Винни-Пуха через 4 минуты, а Винни-Пух к дому Пятачка - через 1 минуту. Сколько минут был в пути каждый из них?

Приложение 1.

Решение. На плоскости с координатами (t; s), где t - время (в минутах), s - расстояние от дома Винни-Пуха, изобразим графики движения Винни-Пуха и Пятачка. На рисунке это отрезки AK и BL соответственно, O - точка пересечения графиков, которая соответствует их встрече. Проведем отрезок PQ, проходящий через точку O, перпендикулярно оси времени. Обозначим AP = t (время до встречи). Из подобия треугольников QOK и POA, а также QOB и POL имеем 1t = t4,что дает t=2.

Ответ. Винни-Пух был в пути 3 минуты, а Пятачок - 6 минут.

Задача 2. Из пункта А в пункт В в 8:00 выехал велосипедист, а через некоторое время из В в А вышел пешеход.

Велосипедист прибыл в В через 6 часов после выхода оттуда пешехода. Пешеход пришел в А в 17:00 того же дня. Скорости велосипедиста и пешехода постоянны. Какую долю пути из А в В проехал велосипедист до его встречи с пешеходом?

Приложение 2

Решение. Графики движения велосипедиста и пешехода в осях (время, расстояние) изображены на рисунке. Из подобия двух треугольников со сторонами 9 и 6 получаем уравнение.Отсюда x=0,6 AB.

Ответ: о,6.

Задача 3. Из пунктов А и В навстречу друг другу с постоянными скоростями вышли два путника.

Первый вышел из А в 7 часов и пришел в В в 13 часов. Второй путник вышел из В в 7 часов и пришел в А в 19 часов. В какое время путники встретились?

Решение: 1. Посмотрим траектории движения путников. Расстояние от А до В неизвестно, поэтому на оси расстояний отложим любой отрезок, например, 7,5 см. По оси времени возьмем масштаб: 1 см 1 час.

2. Соединив отрезком прямой точки начала и конца пути каждого путника, получим траектории их движения. Точка пересечения этих траекторий, которую мы обозначим буквой С, соответствует моменту встречи.

3. Спроецировав точку С на ось времени, получим время встречи- 11 часов. Следовательно, встреча путников произойдет в 11 часов того же дня. Так, не производя никаких вычислений, мы быстро получим ответ на вопрос задачи.

Найдем точное решение данной задачи, используя арифметический способ решения подобных задач.

1. Заметим, что первый путник был в пути 6 часов, а второй - 12 часов.

2. Предположим, потому, что весь путь от А до В составляет12 условных единиц.

3. Скорость первого путника равна 12 : 6 = 2 у.е./час; второго- 12 : 12 = 1 у.е./час.

4. Скорость сближения путников 2 + 1 = 3 у.е./час.

5. Встреча произойдет через 12 : 3 = 4 часа после начала их движения. Так как путники вышли в 7 часов, то встреча произойдет в 11 часов.

Ответ: встреча путников произойдет в 11 часов дня.

Задача 4.Из пунктов A и B одновременно навстречу друг другу выехали два велосипедиста и встретились в 30 км от B.

Прибыв в A и B, они повернули обратно. Вторая встреча произошла в 18 км от A. Найдите расстояние между А и В.

АВ- график движения автобуса.

CD — график движения автомобиля.Решение:

Х км- расстояние между пунктами.

3 х-2 х=90—10, х = 80 (км).

Ответ: 80 км.

Задача 5. Из A в B вышел пешеход.

Одновременно с ним из пункта B во встречном направлении выехал велосипедист. Они двигались с постоянными скоростями, и через час расстояние между ними равнялось 3 км, а еще через час - 14 км. Найдите расстояние между A и B.

AP - график движения пешехода BK - график движения велосипедиста

Решение: OFE~ OCD

EMOF = DCON ;3x = 141+х, x = 311(ч.)

OAB~ODC

ABHO = CDON ; AB1-x = 141+x ; AB= 14(1-x)1+x = 14(1-311)1+311 = 8 км.

Ответ:8 км.

Задачи на совместную работу

Задачи этого типа содержат сведения о выполнении несколькими субъектами (рабочими, механизмами и т.д.) определенной работы. Эти задачи схожи с задачами на движение: роль скорости здесь играет производительность, роль расстояния - объем работы.

Задача 6.Карлсон съедает 1 банку варенья за 2 дня, а Винни-Пух такую же банку варенья – за 8 дня.

За сколько дней они вместе съедят эту же банку варенья?

Приложение 3

Решение: 1. Расстояние от K до В неизвестно, поэтому на оси расстояний отложим любой отрезок. По оси времени возьмем масштаб: 1 см 1 день или 0,2 мм0,2 дня или 4,8 часа.

2. Соединим отрезком прямой точку B с точкой 3 и точку К с точкой 2 и соединим их,получим графики выполнения работы каждого. Точка пересечения этих прямых соответствует моменту выполнения их совместной работы.

3. Спроецировав точку пересечения графиков на ось времени, получим время съедания одной банки при совместной работе – 1,2 дня или 28,8 часа.

Ответ: за 1,2 дня.

Задача 7. Чтобы выкачать воду из котлована, поставили два насоса.

Оба насоса могли бы выкачать всю воду за 10 часов. Однако, после3 часов совместной работы один насос сломался и другому насосу пришлось работать еще 11 часов, чтобы выкачать оставшуюся воду. За сколько часов, действуя отдельно, каждый насос мог бы выкачать всю воду из котлована?

Приложение 4

Решение: 1. По вертикали отложим отрезок, соответствующий количеству воды в котловане, например 8 см.

2. На горизонтальных осях будем откладывать время работы насосов, предположив, что насосы начали работу в 6 часов утра.

3. Всю работу оба насоса вместе могут выполнить за 10 часов, т.е. до16 часов. Зная это, нарисуем график зависимости количества выкачанной из котлована воды от времени работы насосов.

4. Отметим на нем точку С, момент, когда сломался первый насос.

5. Отметим на верхней оси времени точку D, момент окончания работы вторым насосом.

6. Проведем прямую через точки D и С до пересечения с нижней осью времени, в данном случае в отметке 3. Эта прямая задает график откачивания воды одним вторым насосом. По графику видно, что если второй насос один начал бы выкачивать воду в 3 часа, то окончил бы работу в 23 часа. Следовательно, второму насосу потребуется для выкачивания всей воды 20 часов. Так как оба насоса вместе выкачивают воду за 10 часов, то первому насосу потребуется также 20 часов для откачивания воды из котлована.

Арифметический способ решения задачи.

1. Предположим, что в котловане всего 100 у.е. воды.

2. Так как оба насоса откачивают воду за 10 часов, то за час они выкачают 10 у.е. воды.

3. За 3 часа совместной работы насосы выкачивают 30 у.е. воды. Останется 70 у.е. воды.

4. Второй насос выкачает оставшуюся воду за14 часов. Значит, за один час он выкачает 5 у.е. воды.

5. Вместе оба насоса выкачивают за 1 час 10 у.е. воды, поэтому первый выкачивает 5 у.е. воды в час.

Ответ: каждый насос мог бы выкачать всю воду из котлована за 20 часов.

Задача 8. Первая бригада может выполнить некоторую работу за 36 дней, а вторая - за 45 дней.

За сколько дней обе бригады, работая вместе, выполнят всю работу?

Решение. На плоскости с координатами (t; s), где t - время (в днях), s - доля всей работы (AB = 1), изображены графики выполнения работ AK и BL первой и второй бригадой соответственно (рис.2). Абсцисса точки О соответствует времени, за которое выполнят всю работу обе бригады, работая одновременно. Из подобия треугольников BOK и LOA получаем, что BO : OL =36 : 45 = 4 : 5. Из подобия треугольников BCO и BAL имеем COAL = BOBL.Следовательно,CO= 49 * 45=20

Ответ. Обе бригады, работая вместе, выполнят всю работу за 20 дней.

Задачи на проценты и пропорции

Задача 9.(На проценты).

Заработок рабочего понизился на 20%, а цены на товары выросли в среднем на 25%. На сколько процентов меньше товаров, чем прежде, может теперь купить рабочий?

Приложение 5

Решение: 1. По вертикальной оси будем откладывать зарплату рабочего в процентах от прежней зарплаты.

2.По горизонтальной оси мы будем откладывать количество товаров, которое может купить рабочий в процентах к прежнему количеству.

3. Точку, соответствующую 100% товаров и 100% зарплаты, обозначим через С. Соединив точку С с началом координат, получим график покупательской способности рабочего. Отметив любую точку графика и спроецировав ее на оси, мы можем узнать, какое количество зарплаты необходимо потратить на приобретение данного количества товаров и наоборот, какое количество товаров можно приобрести за данное количество зарплаты.

4. Зарплата уменьшилась на 20%, поэтому через точку 80% оси зарплаты проведем горизонтальную прямую, устанавливающую новый уровень зарплаты.

5. Цены выросли на 25%. Значит для того, чтобы купить 100% товаров, нужно потратить 125% первоначальной зарплаты. Точка D соответствует этой ситуации. Соединив точку D с началом координат, мы получим график новой покупательской способности рабочего.

6. Пересечение этого графика с новым уровнем зарплаты даст точку М. Спроецировав точку М на горизонтальную ось, прочитаем число, равное количеству товаров в процентах, которое можно теперь купить.

Это число равно приблизительно 64%. Таким образом, в новой ситуации рабочий может купить только 64% того количества товаров, которое он мог купить прежде.

Заметим, что если мы выберем масштаб на горизонтальной оси 1см 10%, то для нахождения ответа достаточно измерить в миллиметрах расстояние от точки М до вертикальной оси.

Решим теперь эту задачу арифметическим способом.

1. Примем зарплату рабочего за 100 условных единиц, а стоимость товаров за 4 условные единицы.

2. Прежде рабочий мог купить 100 : 4 = 25 единиц товаров.

3. Новый заработок рабочего составляет 80 у.е. зарплаты.

4. Новая цена товара равна 5 у.е. цены.

5. Рабочий может купить теперь 80 : 5 = 16 у.е. товаров.

6. Это количество составляет 16 : 25 100 = 64% от прежнего количества товара, т.е. на 36% меньше.

Ответ: рабочий может купить теперь товаров на 36% меньше, чем раньше.

Задача 10.(на пропорции) Отец предполагал разделить некоторую сумму денег между сыном и дочерью в отношении 2 : 3, но потом передумал и разделил ее в отношении 7 : 3.

В результате сын получил на 15000 рублей больше, чем предполагалось. Какова была сумма и сколько получил каждый?

Приложение 6

Решение: 1. По вертикальной оси будем откладывать общую сумму денег в тысячах рублей, а по горизонтальной оси будем откладывать количество денег, получаемое сыном. Масштаб по горизонтали для наглядности возьмем в два раза крупнее.

2. Зная, что при первом способе раздела сыну полагалось 2/5 всех денег, построим прямую ОС, характеризующую этот способ раздела.

3. При втором способе раздела сын получит 7/10 всех денег. Построим прямую OD, характеризующую второй способ раздела.

4. Сын получил на 15000 рублей больше, чем предполагалось. Отметим на горизонтальной оси точку М, соответствующую этой сумме и проведем через нее прямую MN, параллельную прямой ос до пересечения с прямой OD в некоторой точке N.

5. Спроецировав точку N на вертикальную ось, мы узнаем общую сумму денег. В данном случае она составляет 50000 рублей. Спроецировав точку N на горизонтальную ось, мы найдем долю сына- 35000 рублей. Значит дочь получит 15000 рублей.

Ответ: общая сумма денег равна 50000 рублей, сын получил 35000 рублей, дочь получила 15000 рублей.

Задача 11. «Артели косцов надо было скосить два луга, один вдвое больше другого.

Половину дня артель косила большой луг. После этого артель разделилась пополам: первая половина осталась на большом лугу докосила его к вечеру до конца; вторая же половина косила малый луг, на котором к вечеру еще остался участок, скошенный на другой день одним косцом за один день работы. Сколько косцов было в артели?».

Если большой луг полдня косила вся артель и полдня пол-артели, то ясно, что в полдня пол-артели скашивает 1/3 луга. Следовательно, на малом лугу остался нескошенным участок в 1/2 - 1/3 =1/6. Если один косец в день скашивает 1/6 луга, а скошено было 6/6 + 2/6 = 8/6, то косцов было 8.

Решим арифметическим способом задачи.

1. Первую половину дня все работали на первом поле, естественно, они сделали 1/2 всей работы. Во второй половине дня на этом поле работало пол артели и поэтому сделали в 2 раза меньше – 1/4. Всего первое поле составляет 1/2 + 1/4 = 3/4. Т.е. первое поле – это 3/4 от всей работы артели за день.

2. На втором поле в тот день сделано 1/4 – здесь пол артели работало пол дня. Заметим, мы учли весь дневной объем работ, проверим: 1/2 + 1/4 +1/4 = 1.

На второй день осталась дневная норма одного косца. Теперь известно, что первое поле в 2 раза больше второго, т.е. 3/4 = 2*(1/4 + доля одного работника). Отсюда доля одного работника равна = 3/4 * 1/2 – 1/4. Вычисляем, находим 1/8.Следовательно,в артели 8 косцов.

Вывод

Моя работа способствует развитию познавательных интересов, повышению информационной грамотности, прививает интерес к математике, развивает эстетический вкус.

Рассмотренные графические методы подходят для решения конкурсных нестандартных и олимпиадных задач. Позволяют существенно упростить их решение, сделать его более понятным и наглядным.

2.Применение графических методов позволяет развивать пространственное воображение, которое является основным для освоения материала в старших классах. Позволяет сократить время решения задач (применимо к тестам).

Такие задачи интересно придумывать и решать в качестве математического тренинга. Достоинство – доступность для понимания, наглядность результата.

Литература

1.Под ред. Лысенко Ф.Ф.,Кулабухова С.Ю. Тематические тесты для подготовки к ГИА.Алгебра,геометрия,теория вероятности и статистика:учебно-методическиое пособие.-Ростов н/Д : Легион,2015.

2. Под ред. Д.А. Мальцева.Математика 9 класс. Итоговая аттестация: учебно-методическое пособие- Ростов н/Д;2015.

3. Под ред. А.Г. Мордковича.Алгебра 9 класс.Ч.2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений; 12 изд.,2015

4. И.Р. Высоцкий, П.И. Захаров, под ред. М.А.Семенова, И.В. Ященко.ЕГЭ-2012.Математика. - М.: Издательство “Экзамен”, 2015

5. И.Р. Высоцкий, П.И. Захаров и др.; под ред. М.А.Семенова, И.В. Ященко.ГИА-2012.Математика. - М.: Издательство “Экзамен”, 2015

6. Перельман Я.И.Занимательная алгебра.- М.:Издательство «Наука»,1976.

7. http://znaika.ru/catalog/9-klass/algebra/Graficheskiy-sposob-resheniya-tekstovykh-zadachПриложения

Приложение 1.

Приложение 2.

Приложение 3.

Приложение 4.

Приложение 5.

Приложение 6.

Похожие работы:

«Сценарий "Масленица". ГКОУ РО Казанская школа-интернат VII вида, 3 класс. Педагоги: Мещерякова Н.В., Дьяченко Л.В., Журавлева А.А. Цель: приобщение детей к народным традициям.Задачи:в игровой форме закрепить знание русских народных масленичных развлечений;поддержать интерес детей к обычаям русского народа, ег...»

«Утренник, посвященный Дню Учителя. Зал украшен разноцветными шарами, кленовыми листьями, большими пятёрками. Перед началом праздника звучат мелодии и песни о школеВедущий: Здравствуйте! Сегодня мы собрались, чтобы поздравить наших учителей с их профессиональным праздником – Днем Учителя!!! Этот праздник...»

«"Рассмотрено "Согласовано" "Утверждаю" на заседании ШМО" Зам. директора по УВР Директор МБОУ СОШ №15 Протокол № от _ _ Маханькова Н.М. Гацкевич О.Г. Рук. ШМО _ Дата Приказ №_ от _ (Худякова И.В.)МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 15 г. КРАСНОГОРСКА РАБОЧ...»

«Российская Федерация Департамент социальной политики администрации города Кургана Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение города Кургана "Средняя общеобразовательная школа № 18" (МБОУ "СОШ № 18")РАССМОТРЕНО СОГЛАСОВАНО УТВЕРЖДАЮ на заседание...»

«Праздник первых школьных каникул. 1 класс Звучит фрагмент песни "Школьный корабль" Учащиеся заходят парами в класс Вступительные слова(1 слайд)Здравствуйте, ребята и гости нашего праздника! Итак, в большом школьном море появился новые кораблики: эк...»

«СОДЕРЖАНИЕ TOC \o 1-3 \h \z \u I.Общая характеристика программы PAGEREF _Toc431371205 \h 3II.Организационно-педагогические условия реализации образовательной программы. PAGEREF _Toc431371206 \h 6III.Формы аттестации по программе. PAGEREF _Toc431371207 \h 7IV.Учебный план подготовки по направлению "Хоре...»

«ОБУЧЕНИЕ ДЕТЕЙ РАННЕГО ВОЗРАСТАКУЛЬТУРНО – ГИГИЕНИЧЕСКИМ НАВЫКАМ. Консультация для родителей Мир входит в жизнь детей постепенно. Сначала ребенок постигает то, что окружает его дома, а затем в детском саду. Со временем его жизне...»

«Пример конспекта занятия по чтению для детей 5 лет. Задачи: формирование навыка чтения, развитие кодирования, развитие мышления, свойств внимания, слухового восприятия и фонематического слуха, формирование умения определять количество слогов в словах, формирование умения определять место звука в слове, формиров...»

«МКОУ "Пименовская средняя общеобразовательная школа имени Героя Советского Союза Печенкина Е.Н." Рабочая программа кружка "Наша газета" Учитель: Рождественский Владимир Борисович село Пименовка2010 год Актуальность образовательной модели Создание школьн...»

«Дид. игра "Догадайся, что звучит" Цель: Познакомить детей со звуками окружающего мира, их вычленять и узнавать. Ход: Воспитатель показывает предметы поочередно и демонстрирует, как они звучат. Затем воспитатель предлагает отгадать загадки. Закрывает ширму и действует с разными предметами, а дет...»









 
2018 www.el.z-pdf.ru - «Библиотека бесплатных материалов - онлайн документы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 2-3 рабочих дней удалим его.