WWW.EL.Z-PDF.RU
БИБЛИОТЕКА  БЕСПЛАТНЫХ  МАТЕРИАЛОВ - Онлайн документы
 


«Бугульминского муниципального района Республики Татарстан г. Бугульма МБОУ СОШ №1 с углубленным изучением отдельных предметов Класс: 9 А Научно-исследовательская ...»

Министерство образования и науки Республики Татарстан

Управление образования исполнительного комитета

Бугульминского муниципального района Республики Татарстан

г. Бугульма

МБОУ СОШ №1 с углубленным изучением отдельных предметов

Класс: 9 А

Научно-исследовательская работа

Тема: Биссектриса угла треугольника

Учащийся: Александров А.А

Руководитель: Чуканова И.И.

Бугульма, 2012

Содержание.

1.Введение…………………………………………………………………………3

2.Основная часть:

2.1. Формулировка теоремы о биссектрисе угла треугольника……………...4

2.2. Различные способы доказательства теоремы о биссектрисе угла треугольника………………………………………………………………………..

2.21. Метод подобия……………………………………………………………

2.22. Метод площадей…………………………………………………………5

2.23. Описанная окружность …………………………………………………..

2.24 Теорема синусов. ………………………………………………………...6

2.25.Векторный метод…………………………………………………………7

2.26. Доказательство с применением осевой симметрии……………………

2.3. Решение задач на применение……………………………………………..8

2.31. Решение задач из учебника……………………………………………....

2.32. Решение олимпиадных задач…………………………………………….

2.33. Авторская задача…………………………………………………………9

3.Заключение………………………………………………………………...........10

4.Используемая литература…………………………………………………….11

1.Введение.

Первые геометрические понятия возникли в доисторические времена. Человек не только пассивно наблюдал природу, но практически осваивал и использовал её богатства. Материальные потребности побуждали людей изготовлять орудия труда, обтёсывать камни и строить жилища, лепить глиняную посуду и натягивать тетиву на лук. Люди натягивали свои луки, изготавливали разные предметы с прямыми рёбрам и постепенно дошли до отвлечённого понятия прямой линии.

Практическая деятельность человека служила основой длительного процесса выработки отвлечённых понятий, открытия простейших геометрических зависимостей и соотношений.

Со временем, когда накопилось большое количество геометрических фактов, у людей появилась потребность обобщения, уяснения зависимости одних элементов от других, установления логических связей и доказательств. Геометрия стала наукой лишь после появления в ней теорем и доказательств.

К числу основных геометрических фактов следует отнести теорему о биссектрисе угла треугольника.

Теорема о биссектрисе треугольника часто используется при решении геометрических задач. Теорема интересна тем, что существует много методов ее доказательства (метод подобия, метод площадей, метод движений и т.д.). В данной работе предлагаются только 4 способа доказательства этой замечательной теоремы.

Цель и задачи исследования:

Изучить доказательства теоремы о биссектрисе угла треугольника.

Научиться работать с чертежами.

Решать задачи на применение теоремы.

Составлять и решать задачи практического содержания.

Основная часть.

2.1. Формулировка теоремы о биссектрисе угла треугольника.

Теорема: Биссектриса внутреннего угла треугольника делит

противоположную сторону на части, пропорциональные

прилежащим сторонам треугольника.

Если BD – биссектриса ABC, то выполняется равенство.

2.2. Различные способы доказательства теоремы о биссектрисе





угла треугольника.

2.21. Метод подобия

Проведем прямую m параллельную биссектрисе BD.

ABD = DBC (т.к. BD – биссектриса).

DBC = BCD (т.к. m BD и BC – секущая).

BDC = ABD (т.к. m BD и BD - секущая).

BCD = BDC.

Значит BCD - равнобедренный => BC=BD.

ABD ADC (по двум углам).

Следовательно:

.

Что и требовалось доказать.

2.22. Метод площадей.

Рассмотрим ABD и CBD.

S ABD : SCBD = AD : DС ( так как h – общая высота).

BD – биссектриса ABC. Каждая точка биссектрисы BD равноудалена от

сторон ABC. Значит DH = DM - высоты ABD и CBD.

S ABD : SCBD = AB : BC.

Итак: AB : BC = AD : DС => AB : AD = BC : DС.

Что и требовалось доказать.

2.23.Описанная окружность.

Опишем вокруг ABC окружность. Продолжим BD до пересечения с

окружностью в точке Е.

BAE BDC (по двум углам). Значит: (1).

BCE BAD (по двум углам). Значит: (2).

Так как ACE – равнобедренный, то AE = CE. Тогда AB DC = BC AD =>

.

Что и требовалось доказать.

2.24. По теореме синусов.

В треугольнике ABC ABD = DBC = (т.к. BD – биссектриса ABC).

Рассмотрим ABD. По теореме синусов: (1).

Рассмотрим BCD. По теореме синусов:

(2).

Следовательно:.

Что и требовалось доказать.

2.25.Векторный метод.

Для любой точки Д отрезка АС вектор,

где k = DCCA и 1- k = ADCA.

Действительно,

В нашем случае вектор параллелен вектору 1AB + 1BC,

и поэтому k1-k = 1AB : 1BC, тогда DCAD = BCAB, откуда ABAD = BCDC.

Что и требовалось доказать.

2.26.Осевая симметрия.

Выполним осевую симметрию S треугольника ABC относительно BD,

получим SBD (A) = A1, SBD (C) = C1 и SBD (B) = B.

Тогда CDC1 ADA1 (по двум углам) и СС1B AA1B (по двум углам).

AB = A1B (т.к. ABA1 – равнобедренный).

Тогда и. Следовательно,.

Что и требовалось доказать.

2.3 Решение задач на применение.

2.31.Задача из учебника.

Медиана и высота делят треугольник на три равные части. Найдите углы треугольника.

ACH= MCH по катету и острому углу.

Поэтому ACМ - равнобедренный, АН=НМ. Пусть АН = НМ = а, МВ = 2а.

По свойству биссектрисы СМ HВС имеем:. Тогда СВ=2СН,

СВН=30, ВСН= 60, =30, С=90

Ответ: 30, 60, 90.

2.32.Олимпиадная задача.

В треугольнике ABC на сторонах AB и BC отмечены точки M и N соответственно, причём BM = BN. Через точку M проведена прямая, перпендикулярная BC, а через точку N — прямая перпендикулярная AB. Эти прямые пересекаются в точке O. Продолжение отрезка BO пересекает сторону AC в точке P и делит её на отрезки AP = 5 и PC = 4. Найдите длину отрезка BP, если известно, что BC = 6.

Решение:

В равнобедренном треугольнике BMN точка O является точкой пересечения высот. Поэтому BP — биссектриса треугольника BMN и треугольника ABC. По теореме о биссектрисе треугольника AB: BC = AP: PC, поэтому

AB =.

По формуле для квадрата биссектрисы треугольника:

. Следовательно: BP = 5.

Ответ: BP = 5.

2.32.Авторская задача.

Дано:

ВС=6см, ВК=4см, ВК- биссектриса АВС.

КС=3см, R BKC =1см. S ABC=60см.

Найти: АВ.

Решение:

1. S BKC = BCBKKC4R. Следовательно: S BKC =18см.

2. S АВК = S АВС –S ВКС. Следовательно: S АВК = 42см.

3.Площади треугольников, имеющих равные высоты, относятся как

основания: АККС = SавкSвкс.

4. По теореме о биссектрисе треугольника: АК: КС=АВ: ВС.

Тогда 21: 9 = АВ: 4, отсюда: АВ=14см.

Ответ: АВ= 14 см.

3.Заключение.

Подводя итог работе, хотелось бы сказать, что биссектриса очень важный элемент в геометрии. Она обладает огромным количеством свойств и эти свойства помогают при решении различных геометрических задач.

Теорема о биссектрисе угла – одно из основных свойств биссектрисы. С помощью неё я смог доказывать другие теоремы.

В этой работе, приведя различные способы эта доказательства, я показал насколько универсальна теорема.

Она проста в понимании, но в то же время помогает мне при решении очень сложных и запутанных задач.

Изучив эту теорему, я открыл много нового для себя, расширил свои знания и думаю, что проложил дорогу к дальнейшему изучению геометрии.

4.Используемая литература.

Приложение к журналу КВАНТ №1/1995.

Статьи: Л.Н.Смоляков. Еще 13 доказательств теоремы о

биссектрисе.//Квант, №2,1985.

С.Р.Сефибеков. Четыре доказательства теоремы о

биссектрисе.//Квант, № 8, 1983.

Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И.

Юдина. Учебник для общеобразовательных учреждений.

Просвещение, 2003 год.

И.Ф.Шарыгин. Геометрия 7-9 классы. Москва, Издательский дом

«Дрофа», 1997.

Единая коллекция ЦОР.

Г.К.Пак. «Биссектриса». Серия: Готовимся к математической

олимпиаде. Владивосток, 2003.



Похожие работы:

«Разработка урока по истории по теме " Гражданская война" 9 класс Цели урока :Образовательные – раскрыть причины и сущность Гражданской войны, рассказать о периодах Гражданской войны. Воспитательныепродолжить работу над развитием у учащихся человеколюбия и толерантности. Развивающие -продолжить работу над развитием умений учащихс...»

«Тема: "Третьеиюньская монархия и реформы П.А.Столыпина" Конспект урока истории в 11 классе учителя МОУ "СОШ №76" г.Саратова Зайцевой Н.Н.Цель урока:обеспечить усвоение учащимися целей, содержания и значения реформ П.А.Столыпина.подвести учащихся к пониманию причин, по которым реформы П.А.Столыпина не нашли...»

«1428750 ГУ "Боскольская средняя школа отдела образования акимата Карабалыского района Разработка внеклассного мероприятия по литературе \ Вязовченко Т.В. учитель русского языка и литературы с. Босколь, 2016 – 2017 год Виртуальное путешествие в творчество Жамбула...»

«ПланВведение 1 Текст 1.1 Редакции1.2 Источники2 Сюжет3 Переводы Введение История Александра Великого ( ; ; Historia Alexandri Magni) — псевдоисторический греческий роман. Александр и Гефестион входят в шатер Дария1. Текст Первоначальный текст II—I в. до н. э. н...»

«Сведения о ведущей организации по защите диссертации Антонины Владимировны Кобзевой ""Хронография" Иоанна Малалы: антикварная традиция и медиевализация исторического знания в ранней Византии", представленной на соискание ученой степени кандидата исторических наук по специальности 07.00.03 – всеобщая истори...»

«Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №3 сл. Большая Орловка Утверждаю Директор школы В.Н. Долматова. 28 августа 2015г. приказ №181 Рабочая программа кружка "Мир вдохновения"Руководитель кружка: Горбачева Любовь Владимировна 2015-2016 учебный год Пояснительная записка...»

«  Полное название темы работы   Партизанское движение в годы Гражданской войны на территории Северо-Канского фронта Название научного направления форума и секции Тип работы исследовательская работа Возр...»

«Министерство культуры Республики Карелия Министерство образования Республики Карелия Министерство по делам молодежи, физической культуре и спорту Республики Карелия ФГБОУ ВПО "Петрозаводский государственный университет" ФГБУН Институт геологии Карельского научного центра РАН ФГБУК "Государс...»

«О месте Михаила Зощенко в русской литературе ПЛАН Предшественники и последователи от Даниила Заточника до Михаила Жванецкого. Драматургия М. Зощенко. Особенности драматического конфликта. М. Зощенко и театр абсурда. Зверь и неживой человек в мире раннего Зощенко. Наставничеств...»

«Список використаної літератури та джерел Джерела Ибн Абд аль-Хакам Абд ар-Рахман. Завоевание Египта, аль-Магриба и аль-Андалуса. [ IX ст. ] // Арабские источники VII-X вв. / Под ред. Л. Е. Куббеля; – Москва, 1960. – С.14 – 18. Ат-Табари. История пророков и царей [914 р.] // Медников Н.А. Палест...»







 
2018 www.el.z-pdf.ru - «Библиотека бесплатных материалов - онлайн документы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 2-3 рабочих дней удалим его.